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什么是共线向量？

来源：作者：发布时间：2007-03-25

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共线向量与共面向量
教学目标：掌握共线向量、共面向量定理；了解有关概念。
教学重点：掌握共线向量、共面向量定理。
教学过程：
一、复习：
1、空间向量的概念
2、空间向量的运算
3、平行六面体的概念
二、授新课：
1．共线向量（平行向量）的概念
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b,记作a∥b
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb。
（证明略）
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式
a ①
其中向量a叫做直线l的方向向量。
注：对l上任一点P，满足①式的实数t是唯一的；反过来，对一个实数t，①式在l上确定的P是唯一的，即直线l上的点和实数t是一一对应的。
在l上取 =a时，则①式可化为
，或 ②
当时，点P是线段AB的中点，则
③
①或②式都叫做空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式。它们与平面直线的向量参数方程和线段中点公式相同。
3．共面向量
已知平面α与向量，作，如果直线OA平行于平面α或在α内，那么我们说向量平行于平面α，记作 ∥α。
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
说明：⑴空间任意两个向量总是共面的；
⑵空间任意三个向量不一定共面；
⑶空间四边形ABCD中、、不共面。
4．共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是，存在实数对x、y，使 =x +y
证明：如果向量与向量、共面，根据平面向量的基本定理，一定存在实数对x、y，使 =x +y ；反之，如果存在实数对x、y，使 =x +y ，对空间任一点M作 = ， = ， =x ，过点作 =y ,则 = =x +y ，于是点P在平面MAB内，向量 ∥平面MAB，即向量与、共面。
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使 =x +y
或对空间任一点O，有 = +x +y ①
可以证明平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表达式。
5．举例：
例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式
=x +y +Z (其中x+y+z=1)的四点P、A、B、C是否共面。
解：原式可变形为
=（1-y-z） +y +Z ,
- =y( - )+Z( - )

∴点P与A、B、C共面。
例3、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 =k ， =k , =k , =k ,求证：
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG∥平面AC。
证明：略
三、做练习：第31页第1、2题
四、小结：1、共线向量（平行向量）的概念
2、空间向量共线的充要条件
3、共面向量的概念及向量共面的充要条件
五、布置作业：
如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，求证：这四个点共面。

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